Equação 2º Grau

equação do 2º grau




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Equação do Segundo Grau: Relação entre coeficientes e as raízes

As equações do 2º grau, ax2 + bx + c = 0 (a 0) , possuem duas notáveis relações entre as raízes x1 e x2 e os coeficientes a, b e c.

São chamadas de relações de Soma e Produto ou relações de Girard.

Consideremos a equação do 2º grau:

ax2 + bx + c = 0, com a 0 e com as raízes:

Equaçao segundo grau

Podemos estabelecer:

1º) A soma das raízes da equação do 2º grau por meio da relação:

Equaçao Segundo Grau


2º) O produto das raízes da equação do 2º grau através da relação:

Equaçao Segundo Grau

A partir desses valores e, dividindo a equação ax2 + bx + c = 0 pela constante a (coeficiente de x2), teremos a equação apresentada pela igualdade:

Equaçao Segundo Grau

em que S é a soma de suas raízes e P é o produto delas.

Podemos dar a essa nova apresentação da equação do 2º grau duas utilizações práticas:

1º ) Determinar uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7.

Tendo as raízes, podemos determinar:

S = 2 + 7 = 9 e P = 2 · 7 = 14

Com esses valores, podemos montar a equação:

Equaçao Segundo Grau

que é uma das equações do 2º grau cujas raízes são 2 e 7.


2º ) Resolver a equação do 2º grau:

x2– 7x + 12 = 0.

Pela observação da sentença que representa a equação, temos:

S = 7 e P = 12.

Basta, agora, com um “pouquinho” de criatividade, reconhecer dois números cuja soma é 7 e o produto é 12.

Claro que já percebemos que os números são 3 e 4. Portanto:

Equaçao Segundo Grau

 

2. Resolvendo Equações com Mudança de Variável

Freqüentemente nos deparamos com equações que, mesmo não sendo do 2º grau, podem ser resolvidas com o auxílio dela. Nessas situações, devemos nos valer de mudanças nas variáveis da equação de tal forma que ela se transforme, temporariamente, numa equação do 2º grau, como nos exemplos que veremos a seguir:

Exemplo 1

Resolver a equação:

x4 – 3x2 – 4 = 0

Notemos que esta é uma equação de quarto grau, porém com uma característica particular: apresenta apenas os termos de grau par.

Se fizermos:

x2 = y

teremos:

y2 – 3y – 4 = 0

Resolvendo esta equação, teremos:

y1 = –1 e y2 = 4

Considerando que y está ocupando o lugar de x2, teremos:

x2 = –1 ou x2 = 4

Considerando , teremos:

x = – 2 ou x = 2

Assim sendo:

Equação Segundo Grau


Exemplo 2

Resolver a equação:

(x2 + x)2 – 14 (x2 + x) + 24 = 0

Evidentemente, os produtos e as potências indicados podem ser desenvolvidos originando uma equação do quarto grau com uma certa complexidade na sua resolução. Observemos, por outro lado, que a expressão (x2 + x) se apresenta na equação mais de uma vez. Podemos tomar a iniciativa de substituí-la por uma única incógnita.

Se fizermos:

x2 + x = m

teremos:

m2 – 14m + 24 = 0

A resolução desta equação nos leva a dois valores de m: 2 e 12, que são, portanto, os valores de x2 + x.

Logo:

x2 + x = 2 ou x2 + x = 12

Assim, determinaremos duas equações do 2º grau:

x2 + x – 2 = 0

e

x2 + x – 12 = 0

cujas soluções representarão as soluções da equação original. Assim sendo, e pela resolução destas equações, teremos:

Equação Segundo Grau

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