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Prova de matemática discursiva - UFV 2006

Prova resolvida

01)Sejam f,g : IR  IR dadas por f(x) = x² − 2x e g(x) = ax + b , onde a e b são números reais.

a) Determine ( f o g)(x) .

b) Calcule os valores de a e b para os quais os números 0 e 1 sejam raízes da equação ( f o g)(x) = 0 .

c) Esboce o gráfico da função f o g para os valores não-nulos de a e b encontrados no item anterior.

Resolução:

02)Na figura abaixo, as três circunferências têm 1 cm de raio e são tangentes entre si e aos lados do triângulo ABC.

 

a) O triângulo ABC é eqüilátero? Justifique sua resposta.

b) Determine as medidas do lado e da altura do triângulo ABC.

c) Girando o triângulo ABC de um ângulo de 180° em torno da altura relativa ao lado , obtém-se um cone. Calcule o volume desse cone.

Resolução:

03) Quatro apostadores acertaram uma quina na mega-sena e ganharam a quantia de R$112.000,00, que foi dividida em partes proporcionais aos valores com que cada um deles contribuiu para pagar o jogo. Sabendo-se que os prêmios recebidos pelos apostadores formavam uma progressão aritmética e que para fazer o jogo, um dos apostadores pagou a menor parcela, que foi de R$0,40, e outro pagou a maior parcela, que foi de R$5,20, responda:

a) Os valores pagos pelos apostadores também estavam em progressão aritmética? Justifique sua resposta.

b) Calcule quanto recebeu cada um dos apostadores.

Resolução:

04) Em um exame, foi usado o seguinte critério de correção:

I. Para cada questão respondida corretamente o candidato recebeu 5 pontos;

II. Para cada questão respondida incorretamente o candidato perdeu 2 pontos;

III. Para cada questão em branco o candidato perdeu 1 ponto.

A tabela abaixo apresenta o desempenho, nesse exame, dos candidatos Antônio e Maria.

Com base nos dados acima, determine o número de questões do exame.

Resolução:

05)Na figura abaixo, a reta y = −x + 6 intercepta a parábola y = x² nos pontos A e B.

a) Determine as coordenadas dos pontos A e B.

b) Seja C = (a,b) um ponto da parábola distinto de A e B. Calcule a área do triângulo ABC, comprovando que seu valor é unidades de área.

c) Calcule os valores de a para os quais a área do triângulo ABC seja igual a 15 unidades de área.

Resolução:

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