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Prova de matemática discursiva - UFV 2007

Prova resolvida

01) Em computação gráfica, quando um programa altera a forma de uma imagem, está transformando cada ponto
de coordenadas (x, y) , que forma a imagem, em um novo ponto de coordenadas (a,b) . A figura ao lado ilustra a transformação da imagem 1 na imagem 2. Um dos procedimentos que consiste em transformar o ponto (x, y) no ponto (a,b) é realizado, através de operações com matrizes, de acordo com as seguintes etapas:
Etapa 1: Fixe duas matrizes invertíveis M e E , de ordem 2, e considere M⁻¹ a matriz inversa de M.
Etapa 2: Tome P e Q as matrizes cujas entradas são as coordenadas dos pontos (x, y) e (a,b) , respectivamente, isto é,
Etapa 3: Obtenha Q a partir de P por meio da expressão Q = E M⁻¹ P .
Considerando estas etapas e as matrizes , determine:
a) a inversa de M.
b) o ponto (a,b) que é obtido do ponto (2, 3) por meio da expressão Q = E M⁻¹ P .

Resolução:

02) Uma fábrica deseja produzir uma chapa retangular a partir de uma chapa metálica que tem a forma de um triângulo isósceles. Suponha que A, B e C são os vértices da chapa triangular; que D, E, F e G são os vértices da chapa retangular; e que AB = AC = 4 m e ABC = 60º , conforme ilustra a figura ao lado. Determine:
a) o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e B.
b) a área S da chapa retangular em função de x_o , onde x_o é a abscissa do ponto D.
c) as dimensões, em metros, da chapa retangular para que sua área seja máxima.

Resolução:

03) Durante uma tempestade, um pequeno avião saiu da cidade A com destino à cidade C, distante 945 km. Quando o avião estava no ponto D, distante 700 km do ponto de partida, o piloto detectou que o avião se desviara do seu curso seguindo a trajetória , conforme ilustra a figura ao lado. Sendo α = 30º o ângulo para um curso paralelo a e β o ângulo tal que α + β é o ângulo de correção para que o avião chegue à cidade C, calcule: (Considere = 1,7 )
a) a distância entre B e D.
b) o ângulo de correção.

Resolução:

04) A fim de medir a magnitude de um terremoto, os sismólogos Charles Francis Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala Richter em 1935. Nesta escala, o maior terremoto já registrado foi o Grande Terremoto do Chile, em 1960, atingindo a magnitude de 9,5, seguido do ocorrido na Indonésia, em 2004, que atingiu a magnitude de 9,3. Na escala Richter, a magnitude M é dada por M = log A − log A₀ onde log denota logaritmo decimal, A é a amplitude máxima medida pelo sismógrafo e A₀ é uma amplitude de referência padrão. Sabe-se também que a energia E , em ergs (1 erg = 10^-7 Joules), liberada em um terremoto está relacionada à sua magnitude M por meio da expressão log E = 11,8 + 1,5M .

A partir das informações acima, faça o que se pede:
a) Sabendo que no litoral do Brasil, em 1955, foi registrado um terremoto de magnitude 6,3 na escala Richter, determine a razão entre as energias liberadas nos terremotos ocorridos na Indonésia e no Brasil.

b) Considerando A₁ a amplitude máxima de um terremoto e E₁ sua energia, e A₂ a amplitude máxima de outro terremoto e E₂ sua energia, determine k tal que

Resolução:

05) Durante um tratamento médico verificou-se que a concentração C , em miligramas por litro, de um certo medicamento na corrente sanguínea satisfaz a desigualdade (3 − C) . |C| − 2 |C − 3 | ≥ 0

a) Verifique se a concentração do medicamento na corrente sanguínea pode ser igual a 0,5 miligramas por litro. Justifique, mostrando seus cálculos.

b) Determine o menor valor da concentração deste medicamento na corrente sanguínea. Justifique, mostrando seus cálculos.

Resolução:

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