Potenciação

Potenciação


Potenciação

Representamos por an, a potência de base real a e expoente inteiro n.

Definimos a potência an nos casos abaixo:

1º caso: Expoente inteiro maior que 1.

Potência de expoente inteiro maior que 1 é o produto de tantos fatores iguais à base quantas forem as unidades do expoente.

Assim:

Potenciação

Exemplos:

a) 43 = 4 · 4 · 4 = 64

b) 15 = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1

c) (–2)4= (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16

d) Potenciação


2º caso: Expoente 1

Toda potência de expoente 1 é igual à base.

Assim:

Potenciação

Exemplos

a) 51 = 5

b) Potenciação


3º caso: Expoente zero

Toda potência de expoente zero é igual a 1.

Assim:

Potenciação

Exemplos

a) 50 = 1

b) Potenciação = 1


4º caso: Expoente inteiro negativo

Toda potência de expoente inteiro negativo e base não-nula é igual à potência de base igual ao inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado.

Assim:

Potenciação

Exemplos:

a) Potenciação

b) Potenciação

c) Potenciação


Observação:

Sendo n um número inteiro, temos:


1aa = 0 e n > 0 seta an = 0
2a)  a = 0 e n < 0 seta an pertence a R
3a)  a > 0 seta an > 0
4a)  a < 0 e n par seta an > 0
5a)  a < 0 e n ímpar seta an < 0


2. Propriedades

Consideremos os números reais a e b, e os números naturais m e n. Então são válidas as seguintes propriedades.


• P1: Produto de potências de mesma base

Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.

Potenciação

Justificativa:

Potenciação Potenciação = Potenciação


Assim: am · an = am+n.

Exemplos:

a) 23 · 25 = 23+5 = 28

b) 4x · 4-x+2 = 4x+(-x+2) = 42

c) 3 · 32 · 36 = 31+2+6 = 39


• P2: Quociente de potências de mesma base

Para dividirmos potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.

Potenciação

Justificativa:

Potenciação


1o. Sendo m > n, temos

Potenciação

2o. Se m = n, Potenciação = 1= a(m-n) = a0 = 1

3o. Se PotenciaçãoPotenciação = a (m - n)


Exemplos:

a) Potenciação = 26-2 = 24

b) Potenciação = 5x-2

c) Potenciação= 4(x+2)-(x-3) = 45


• P3: Produto de potências de mesmo expoente

Para multiplicarmos potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e multiplicamos as bases.

Potenciação


Justificativa

Potenciação

Potenciação

Potenciação

Assim: an · bn = (ab)n.

 

Exemplos

a) 24 · 84 = (2 · 8)4 = 164

b) x3 · y3 · z3 = (x · y · z)3

 

• P4: Quociente de potências de mesmo expoente

Para dividirmos potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e dividimos as bases.

Potenciação

Justificativa:

Potenciação

potenciacao- Potenciação

Assim:

Potenciação


Exemplos:

a) Potenciação

b) Potenciação


• P5: Potência de uma potência

Para elevarmos uma potência a um novo expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.

Potenciação

Justificativa:

Potenciação

Potenciação


Exemplos:

a) (23)2 = 22.2 = 26

b) Potenciação = 32.3.2 = 312


Observação

As propriedades apresentadas podem ser estendidas para os expoentes m e n inteiros.

Exemplos

a) 23 · 2-2 = 23 + (-2) = 21 (P1)

b) Potenciação = 52 - (-3) = 52 + 3 = 55 (P2)

c) 5-3 · 2-3 = (5 · 2)-3 = 10-3 (P3)

d) Potenciação (P4)

e) Potenciação (P5)


Situações Especieais

A. (– a)n  e  –an

As potências (–a)n e –an , em geral, apresentam resultados diferentes, pois:

Potenciação

Potenciação


Exemplos

a) (–2)4 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16

b) –24 = – 2 · 2 · 2 · 2 = –16

c) (–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = –8

d) –23 = – 2 · 2 · 2 = –8

 

B. Potenciação

As potências Potenciação, em geral, apresentam resultados diferentes, pois:

Potenciação

e

Potenciação


Exemplos

a) Potenciação = (32) · (32) · (32) = 32 · 3 = 36

b) Potenciação = 32 · 2 · 2 = 38

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