01) Um arquiteto projetou um salão quadrangular 10m x 10m. Ele dividiu o salão em dois ambientes I e II através de um segmento de reta passando pelo ponto B e paralelo a uma das diagonais do salão, conforme mostra a figura a seguir:
A área do ambiente I é a sétima parte da área do ambiente II.

Calcule a distância entre os pontos A e B.

02) A figura abaixo mostra um trecho de uma malha rodoviária de mão única. Dos veículos que passam por A, 45% viram à esquerda. Dos veículos que passam por B, 35% viram à esquerda. Daqueles que trafegam por C, 30% dobram à esquerda.

Determine o percentual dos veículos que, passando por A, entram em E.

03) Duzentas bolas pretas e duzentas bolas brancas são distribuídas em duas urnas, de modo que cada uma delas contenha cem bolas pretas e cem brancas. Uma pessoa retira ao acaso uma bola de cada urna.
Determine a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam de cores distintas.

04) Considere uma seqüência infinita de pontos P₁, P₂, P₃, ... sobre uma circunferência.
Encontra-se P_n+1 a partir de P_n ao se caminhar no sentido trigonométrico, sendo o arco igual a 14°.
Determine o menor valor de n>1 tal que P_n coincide com P₁.

05) Sejam x e y duas quantidades. O gráfico abaixo expressa a variação de log y em função de log x, onde log é o logaritmo na base decimal.
Determine uma relação entre x e y que não envolva a função logaritmo.

06) Considere uma quantidade Q>0 e seja M um valor aproximado de Q, obtido através de uma certa medição. O erro relativo E desta medição é definido por . Considere ainda um instrumento com uma precisão de medida tal que o erro relativo de cada medição é de, no máximo, 0,02. Suponha que uma certa quantidade Q foi medida pelo instrumento e o valor M = 5,2 foi obtido.
Determine o menor valor possível de Q.

07) Ping Oin recolheu 4,5m³ de neve para construir um grande boneco de 3m de altura, em comemoração à chegada do verão no Pólo Sul. O boneco será composto por uma cabeça e um corpo, ambos em forma de esfera, tangentes, sendo o corpo maior que a cabeça, conforme mostra a figura a seguir. Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin aproximou p por 3.

Calcule, usando a aproximação considerada, os raios das duas esferas.

08) João não estudou para a prova de Matemática; por conta disso, não entendeu o enunciado da primeira questão. A questão era de múltipla escolha e tinha as seguintes opções:
(A) O problema tem duas soluções, ambas positivas.
(B) O problema tem duas soluções, uma positiva e outra negativa.
(C) O problema tem mais de uma solução.
(D) O problema tem pelo menos uma solução.
(E) O problema tem exatamente uma solução positiva.

João sabia que só havia uma opção correta. Ele pensou um pouco e cravou a resposta certa. Determine a escolha feita por João. Justifique sua resposta.

09) Na figura abaixo, R é um ponto pertencente ao lado AB e S um ponto pertencente ao lado AC.

Sejam b a medida de AC, c a medida de AB, p a medida de AR e q a medida de AS.

Mostre que a razão entre as áreas dos triângulos ARS e ABC vale pq/bc.

10) O agente Id Ota inventou o seguinte código secreto para a transmissão de datas de certos fatos importantes: o código transforma uma data d-m-a, onde d é o dia, m é o mês e a representa os dois últimos algarismos do ano, em uma nova tripla de números d´- m´- a´, de acordo com a regra . O código revelou-se um desastre. De fato, várias datas originais distintas (d,m,a) correspondem a um mesmo código transmitido (d´,m´,a´).

Por exemplo, as datas 1/1/97 e 2/2/96 correspondem ao mesmo código 98-98-98, pois:
. Id Ota pensou então em alterar o coeficiente central da matriz, a₂₂, igual a 2, para um outro valor k.
Determine, se possível, os valores de k que fazem o código funcionar bem.