- UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO -
- PROVA DE MATEM�TICA DISCURSIVA - VESTIBULAR 1998 -

01) Um arquiteto projetou um sal�o quadrangular 10m x 10m. Ele dividiu o sal�o em dois ambientes I e II atrav�s de um segmento de reta passando pelo ponto B e paralelo a uma das diagonais do sal�o, conforme mostra a figura a seguir:
A �rea do ambiente I � a s�tima parte da �rea do ambiente II.

Calcule a dist�ncia entre os pontos A e B.

 


02) A figura abaixo mostra um trecho de uma malha rodovi�ria de m�o �nica. Dos ve�culos que passam por A, 45% viram � esquerda. Dos ve�culos que passam por B, 35% viram � esquerda. Daqueles que trafegam por C, 30% dobram � esquerda.

Determine o percentual dos ve�culos que, passando por A, entram em E.

 

 

03) Duzentas bolas pretas e duzentas bolas brancas s�o distribu�das em duas urnas, de modo que cada uma delas contenha cem bolas pretas e cem brancas. Uma pessoa retira ao acaso uma bola de cada urna.
Determine a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam de cores distintas.

04) Considere uma seq��ncia infinita de pontos P1, P2, P3, ... sobre uma circunfer�ncia.
Encontra-se Pn+1 a partir de Pn ao se caminhar no sentido trigonom�trico, sendo o arco igual a 14�.
Determine o menor valor de n>1 tal que Pn coincide com P1.

 

 

 

05) Sejam x e y duas quantidades. O gr�fico abaixo expressa a varia��o de log y em fun��o de log x, onde log � o logaritmo na base decimal.
Determine uma rela��o entre x e y que n�o envolva a fun��o logaritmo.

 

 

 

 

06) Considere uma quantidade Q>0 e seja M um valor aproximado de Q, obtido atrav�s de uma certa medi��o. O erro relativo E desta medi��o � definido por . Considere ainda um instrumento com uma precis�o de medida tal que o erro relativo de cada medi��o � de, no m�ximo, 0,02. Suponha que uma certa quantidade Q foi medida pelo instrumento e o valor M = 5,2 foi obtido.
Determine o menor valor poss�vel de Q.

07) Ping Oin recolheu 4,5m3 de neve para construir um grande boneco de 3m de altura, em comemora��o � chegada do ver�o no P�lo Sul. O boneco ser� composto por uma cabe�a e um corpo, ambos em forma de esfera, tangentes, sendo o corpo maior que a cabe�a, conforme mostra a figura a seguir. Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin aproximou p por 3.

Calcule, usando a aproxima��o considerada, os raios das duas esferas.

 

 

 

 

08) Jo�o n�o estudou para a prova de Matem�tica; por conta disso, n�o entendeu o enunciado da primeira quest�o. A quest�o era de m�ltipla escolha e tinha as seguintes op��es:
(A) O problema tem duas solu��es, ambas positivas.
(B) O problema tem duas solu��es, uma positiva e outra negativa.
(C) O problema tem mais de uma solu��o.
(D) O problema tem pelo menos uma solu��o.
(E) O problema tem exatamente uma solu��o positiva.

Jo�o sabia que s� havia uma op��o correta. Ele pensou um pouco e cravou a resposta certa. Determine a escolha feita por Jo�o. Justifique sua resposta.

09) Na figura abaixo, R � um ponto pertencente ao lado AB e S um ponto pertencente ao lado AC.

Sejam b a medida de AC, c a medida de AB, p a medida de AR e q a medida de AS.

Mostre que a raz�o entre as �reas dos tri�ngulos ARS e ABC vale pq/bc.

 

 

10) O agente Id Ota inventou o seguinte c�digo secreto para a transmiss�o de datas de certos fatos importantes: o c�digo transforma uma data d-m-a, onde d � o dia, m � o m�s e a representa os dois �ltimos algarismos do ano, em uma nova tripla de n�meros d�- m�- a�, de acordo com a regra . O c�digo revelou-se um desastre. De fato, v�rias datas originais distintas (d,m,a) correspondem a um mesmo c�digo transmitido (d�,m�,a�).

Por exemplo, as datas 1/1/97 e 2/2/96 correspondem ao mesmo c�digo 98-98-98, pois:
. Id Ota pensou ent�o em alterar o coeficiente central da matriz, a22, igual a 2, para um outro valor k.
Determine, se poss�vel, os valores de k que fazem o c�digo funcionar bem.